Hemos creado este tema para explorar la fascinante relación entre matemáticas y música. Si las matemáticas no son lo tuyo, no te preocupes. Aquí explicaremos cada concepto de forma sencilla para que descubras cómo nuestra percepción del sonido está intrínsecamente conectada con la lógica cerebral. Te invito a dejar a un lado tus prejuicios y disfrutar del aprendizaje.
En nuestras primeras lecciones en este sitio, mencionamos que el sonido es una onda y que su frecuencia determina la nota musical.
Pero, ¿qué es exactamente la frecuencia? Es una repetición en un periodo de tiempo específico. Imagina una rueda de bicicleta girando. Si completa una vuelta en un segundo, decimos que su frecuencia es de «una revolución por segundo», o «un Hertz (Hz)».
«Hertz» es simplemente el nombre que se le da a la unidad de frecuencia. Si la rueda de nuestro ejemplo hiciera 10 vueltas en un segundo, su frecuencia sería de 10 Hz.
Ahora bien, ¿cómo se relaciona esto con el sonido? El sonido es una onda que oscila a cierta frecuencia. Si una onda sonora hace una oscilación en un segundo, su frecuencia es de 1 Hz. Si hace 10 oscilaciones en ese tiempo, sería de 10 Hz. Cada frecuencia corresponde a un sonido distinto, es decir, a una nota diferente. Por ejemplo, la nota La equivale a una frecuencia de 440 Hz.
¿Y dónde entran las matemáticas? Se ha observado que al duplicar una frecuencia, la nota sigue siendo la misma. Por ejemplo, si multiplicamos la nota La (440 Hz) por 2, obtenemos 880 Hz, que es también una La, pero una octava más alta.
Si quisiéramos bajar una octava, bastaría con dividir la frecuencia por 2. Así, podemos afirmar que una nota y su octava correspondiente mantienen una relación de 1/2.
Experimentos de Pitágoras
Ahora, retrocedamos en el tiempo hasta la Antigua Grecia. Allí, un hombre llamado Pitágoras realizó importantes descubrimientos en matemáticas y música. Lo que acabamos de explicar sobre las octavas, lo descubrió experimentando con una cuerda tensa.
Imagina una cuerda estirada y fijada por ambos extremos. Al vibrar, produce un sonido (ver ilustración):
Pitágoras dividió esta cuerda en dos partes iguales y tocó cada mitad. El sonido resultante era el mismo, pero más agudo, es decir, la misma nota una octava más alta:
Luego, experimentó dividiendo la cuerda en tres partes:
Observó que surgía un sonido nuevo y diferente. No era la misma nota una octava más alta, sino una nota distinta, que requería un nuevo nombre. Este nuevo sonido, aunque diferente, armonizaba bien con el anterior, debido a que las divisiones mostradas hasta ahora presentan relaciones matemáticas de 1/2 y 2/3, que son agradables a nuestro cerebro, amante de la lógica clara.
Continuó subdividiendo la cuerda y combinando matemáticamente los sonidos, lo que llevó a la creación de escalas musicales e inspiró el desarrollo de instrumentos capaces de reproducirlas.
El intervalo del tritono, por ejemplo, proviene de la relación 32/45, una fracción más compleja que hace que nuestro cerebro perciba este sonido como inestable y tenso.
Con el tiempo, se asignaron nombres a las notas como los conocemos hoy.
Curiosamente, nuestro cerebro tiende a interpretar los sonidos como «agradables» cuando las fracciones tienen numeradores y denominadores pequeños, como 2/3, 4/5, 8/5, etc. En cambio, una fracción como 32/45 suena «desagradable».
Aunque no hay pruebas científicas definitivas, esto podría deberse a la combinación de períodos. Por ejemplo, si un sonido ocurre cada dos segundos y otro cada tres, la relación 2/3 produce un patrón rítmico fácil de identificar. Pero con proporciones como 32/45, el patrón resultante es más complejo y difícil de descifrar.
En la práctica, una nota musical se forma por sucesiones rápidas de golpes (por ejemplo, 220 golpes por segundo = 220 Hz). Al tocar dos notas simultáneamente, comparamos un sonido que golpea X veces por segundo con otro que lo hace Y veces, lo que resulta en una fracción X/Y.
Si la forma simplificada de esta fracción da números pequeños, el patrón rítmico resultante será más fácil de interpretar.
En resumen, cada nota tiene un ritmo asociado, y el cerebro humano interpreta estos ritmos en un rango de tono. La superposición de dos notas es, en esencia, una superposición rítmica. Si el patrón resultante es simple y reconocible, encontramos el sonido más agradable al oído.
La Matemática de las Escalas Musicales
Las distintas culturas alrededor del mundo han desarrollado sus propias escalas musicales, y un claro ejemplo de ello es la música china, que se inspiró en las experiencias de Pitágoras con cuerdas. El proceso comenzó tocando la nota Do en una cuerda tensa y luego dividiéndola en tres partes iguales, tal como hemos explicado.
De esta división surgió la nota Sol. Al notar la armoniosa relación entre estas dos notas, repitieron el experimento partiendo de la nota Sol, dividiendo esta sección de la cuerda en tres partes iguales, obteniendo así la nota Re. Esta nota generaba una armonía agradable tanto con la nota Sol como con la nota Do.
Continuando con este método, partieron de la nota Re para llegar a la nota La y, a partir de esta, obtuvieron la nota Mi.
Sin embargo, al aplicar nuevamente este proceso para obtener la nota Si, surgieron problemas acústicos. La nota Si no armonizaba bien con la nota Do (la primera del experimento), ya que ambas notas estaban muy cercanas en tono, causando cierta disonancia.
Por lo tanto, los chinos concluyeron sus divisiones con las notas Do, Sol, Re, La y Mi, excluyendo la nota Si. Estas notas conformaron la base de la música china, dando lugar a una escala pentatónica (de cinco notas). Esta escala, caracterizada por su consonancia y agradable sonoridad, reflejaba la búsqueda constante de armonía y estabilidad en la cultura oriental.
Desde su creación hasta la actualidad, la escala pentatónica ha sido una elección popular para melodías, como ya se mencionó en nuestro artículo sobre esta escala. Pero regresando a las notas y frecuencias, hasta ahora solo hemos cubierto cinco notas de la escala.
En contraste, la música occidental, que utiliza un total de 12 notas, no descartó la nota Si como lo hizo la cultura oriental. Los músicos occidentales percibieron la proximidad entre las notas Do y Si y optaron por desarrollar una escala más extensa. En esta escala, todas las notas mantienen una distancia igual entre sí, siendo el intervalo entre Do y Si (un semitono) el modelo a seguir. Así, entre Do y Re, por ejemplo, se insertaría una nota intermedia, ya que la distancia entre Do y Re (dos semitonos) era mayor que la distancia entre Do y Si (un semitono). Analizando las frecuencias, se descubrió que multiplicando la frecuencia de la nota Si por 1.0595 se obtiene la frecuencia de la nota Do:
- Frecuencia de la nota Si: 246.9 Hz
- Frecuencia de la nota Do: 261.6 Hz
Al multiplicar 246.9 Hz por 1.0595, obtenemos:
246.9 x 1.0595 = 261.6 Hz (nota Do)
Para mantener esta proporción con las demás notas, seguimos este método para determinar la siguiente nota después de Do. Multiplicando la frecuencia de la nota Do por 1.0595, obtenemos:
261.6 x 1.0595 = 277.2 Hz (nota Do sostenido)
Continuando con este proceso para averiguar la siguiente nota después de Do sostenido:
277.2 x 1.0595 = 293.6 Hz (nota Re)
Siguiendo esta lógica, podemos formar toda la escala cromática. Es decir, al multiplicar la frecuencia de la nota Do por «1.0595» doce veces, regresaremos a la nota Do, pero una octava más alta. Esto es posible porque «1.0595» es el resultado de la raíz cuadrada de 2 elevada a la 12 (12√2).
La raíz cuadrada de 2 elevada a la 12 multiplicada doce veces es igual a 2.
12 = 2
Y como ya hemos visto, una nota multiplicada por 2 resulta en la misma nota una octava más alta.
Así, podemos ver que estos números no son aleatorios. El objetivo era dividir una escala en 12 partes iguales, de tal manera que la última nota coincidiera con la primera, una octava más arriba. De esta forma nació la escala temperada, también conocida como escala cromática.
Descubriendo Notas a Partir de Frecuencias
Para comprender mejor lo discutido, observemos las notas en un piano:
Consideremos que el primer Do (a la izquierda) tiene una frecuencia f. Entonces, el segundo Do (una octava más alta) tendrá una frecuencia de 2f. Para alcanzar el siguiente Do, multiplicamos el Do con 2f por 2, obteniendo así Do 4f. Continuando este proceso, el último Do del piano será Do 8f. La lógica es la siguiente:
Pero, ¿qué sucede con las frecuencias 3f, 5f, 6f y 7f? ¿Dónde se ubican? Examinémoslo. Empecemos con la frecuencia 3f, que se encuentra entre 2f y 4f. Sabemos que 1.5 * 2 = 3, por lo que debemos avanzar k semitonos (cada semitono es aproximadamente 1.0595, como hemos visto anteriormente) hasta alcanzar 3f. Es decir, (1.0595^k) * 2f = 3f. Al resolver para k, encontramos que este valor es 7, ya que 1.0595^7 ≈ 1.5.
En otras palabras, avanzamos 7 semitonos desde 2f para llegar a la nota 3f, que es Sol:
Automáticamente, podemos deducir la ubicación de la nota 6f, que es una octava por encima de 3f: 3f * 2 = 6f, como se identificó previamente.
Siguiendo este mismo método, hallamos la nota 5f, situada a medio camino entre 4f y 6f:
Ahora, pensemos de manera inversa para encontrar las frecuencias de la primera octava. Hasta ahora siempre hemos duplicado la frecuencia para llegar a notas más altas. Para hallar notas más bajas, simplemente dividimos por 2.
Así, la nota “E” (Mi), indicada como 5f y ubicada una octava más abajo, será (5/2)f. Y reduciendo otra octava, será (5/4)f. Lo mismo aplica para la nota 3f:
Así, las relaciones 5/4 y 3/2, mencionadas al principio del artículo al referirnos al experimento de Pitágoras, se materializan en nuestro piano.
Con estas técnicas, podemos determinar con exactitud todas las fracciones de la primera octava:
Para saber si dos notas tocadas simultáneamente sonarán agradables, simplemente divide sus fracciones y simplifica la expresión a su forma más básica. Si el resultado tiene un denominador grande, la sensación será desagradable.
Ejemplos:
El intervalo entre Mi y Si corresponde a una quinta perfecta, que es muy agradable musicalmente. ¿Podemos comprobar esto matemáticamente? Basta con hacer (5/4)/(15/8) = 40/60 = 2/3. Es una fracción simple (denominador pequeño), como se esperaba.
¿Qué pasa con el intervalo entre Si y Do? Estas notas, separadas por un semitono, no suenan bien juntas. Veamos qué nos dice la matemática sobre este intervalo: (15/8) / (2/1) = 15/16. Una fracción compleja, tal como se esperaba.
Logaritmo en la Música
Si tienes conocimientos básicos de matemáticas, habrás notado que, al calcular frecuencias y raíces, nos encontramos frecuentemente con el logaritmo en base 2. Por esta razón, los constructores de pianos incorporaron la forma de una gráfica logarítmica en el diseño del piano, como un homenaje a esta intersección entre matemáticas y música. Observa:
Ejemplo de gráfica logarítmica:
Cuerpo del piano:
Profundizando
Existen muchas otras explicaciones matemáticas en la música, y para ilustrarlas es necesario adentrarnos en conceptos más avanzados, como la serie de Fourier. Esta serie se emplea para describir cómo se comporta una onda en física. Se compone de un armónico principal sumado a varios armónicos secundarios. Su fórmula se describe así:
Cuando una cuerda vibra, lo que escuchamos no es un sonido único y puro, sino una combinación de varios sonidos, cuyas frecuencias son múltiplos de la frecuencia base. La frecuencia fundamental es la más importante, la que más influye, y las demás frecuencias múltiples son los armónicos.
La variedad de armónicos enriquece el sonido, dándole cuerpo y textura. El sonido de un diapasón, por ejemplo, carece de armónicos superiores y contiene casi exclusivamente la frecuencia fundamental. Esto lo hace ideal como referencia para afinar instrumentos, pero en contraste, su sonido es bastante plano y carente de riqueza.
La forma en que se combinan los armónicos con la frecuencia fundamental determina el timbre característico de cada instrumento. Por eso, el sonido de una armónica difiere del de una flauta.
Y, evidentemente, diferentes materiales generan distintos armónicos. Por ello, la fabricación de un instrumento de calidad implica considerar cuidadosamente las propiedades de cada material, como el tipo de madera usada en una guitarra.
Además, cuando un músico conecta un instrumento a un amplificador mediante un cable, cada componente de este circuito puede alterar algunos armónicos, afectando la calidad del sonido. Por eso es crucial invertir no solo en un buen instrumento, sino también en cada elemento del equipo.
El proceso de ingeniería de sonido, que implica desarrollar dispositivos analógico-digitales para capturar y almacenar digitalmente las ondas sonoras, busca siempre preservar la forma de onda original lo máximo posible. Las técnicas de edición en estudio, como la eliminación de ruido, también se basan en estos principios, intentando identificar qué armónicos distorsionan la onda original.
Reflexiones Finales
Nuestro propósito era mostrarte cómo la música opera matemáticamente y cómo nuestro cerebro interpreta estas relaciones lógicas.
Claro está, hemos simplificado las cosas aquí (usando aproximaciones y números redondeados), ya que un análisis más detallado sería tedioso para la mayoría de los lectores y requeriría pruebas matemáticas y físicas más complejas.
No es esencial memorizar todo lo discutido aquí, simplemente recuerda que la música no surgió de la nada; es el fruto de una estructura numérica. Todo este proceso lo realiza nuestro cerebro.
En resumen, si eres músico, de algún modo también eres matemático, ya que el placer que sientes al escuchar música esconde cálculos subconscientes.
¡A tu cerebro le encantan los cálculos; es una auténtica máquina de calcular! Cuanto más practiques, estudies y entiendas la música, más desarrollarás esta habilidad. Probablemente comiences a disfrutar de música que antes no te generaba grandes emociones.
Esto es comparable a un estudiante de física en su primer semestre. Si lee un libro de física moderna, le parecerá incomprensible; no le provocará placer alguno. Pero unos años después, con una sólida base matemática, al reencontrarse con ese libro, podría enamorarse del tema y decidir dedicar su vida a él.
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